Álgebra linealy sus aplicacionesEduardo Gutiérrez González
Introducción
El desarrollo de la teoría y las aplicaciones de las matemáticas se basa en la descripción, mediante modelos matemáticos, de los fenómenos que ocurren en nuestro alrededor.
Como se mencionó en el prefacio, el enfoque que damos al texto no es el que corresponde de manera histórica al desarrollo del álgebra, ya que los conjuntos que fueron desarrollados al inicio del álgebra, hoy día cumplen más funciones diferentes a las originales. Por esta razón, queremos que se entienda la importancia del papel que en la actualidad desempeñan los conjuntos en las aplicaciones. Antes de iniciar con el estudio del conjunto de las matrices, es conveniente que primero revisemos un bosquejo histórico sobre su aparición.
Se cree que el origen de las matrices es muy antiguo, ya que los chinos utilizaban cuadros semejantes a lo que hoy conocemos
como matrices, que se conocen como “cuadrados mágicos”. Por ejemplo, el cuadrado de 3 por 3 se registra en la literatura china hacia
el 650 a.C. Además, los matemáticos chinos del periodo 300 a.C. a 200 a.C. escribieron un libro de nueve capítulos sobre el Arte de
las matemáticas (Jiu Zhang, Suan Shu), que resulta ser el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices. Las matrices en ese
libro se utilizan para resolver el problema que se aborda en el capítulo 4 y que se refiere a los sistemas de ecuaciones lineales.
Una de las grandes dificultades que tiene una persona es entender que las operaciones más comunes y conocidas desde los prime-
ros años de estudio que se aplican al conjunto de los números reales, no aplican a otros tipos de elementos o entes matemáticos que se
revisan en este texto. Esto último da origen al álgebra, por la que entendemos: Rama de las matemáticas que estudia las estructuras de los
conjuntos, las relaciones y cantidades. Dando origen a diferentes tipos de conjuntos que es posible clasificar de acuerdo con sus estructuras
algebraicas.
En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con propiedades operacionales determinadas.
Es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propieda- des matemáticas que poseen dichas operaciones. En otras palabras, una estructura algebraica es un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definidas en este. En este momento resulta bastante complicado entender el significado y el alcance real de lo que es una estructura algebraica, por lo que iniciamos con el conjunto más conocido: los números reales, ^, que está formado por números entre los que se definen dos operaciones, suma y producto, además de cumplir las propiedades siguientes con respecto a la suma y el producto.
El desarrollo de la teoría y las aplicaciones de las matemáticas se basa en la descripción, mediante modelos matemáticos, de los fenómenos que ocurren en nuestro alrededor.
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Para lograr esto, las matemáticas se clasifican en diferentes áreas de estudio, una de estas es
la que revisamos en este texto y es la que se refiere a la clasificación de las estructuras algebraicas de algunos conjuntos de interés.
En este capítulo iniciamos el estudio de los conjuntos que cumplen con cierta estructura algebraica basada en dos operaciones:
una interna (suma) entre los elementos del mismo conjunto y otra externa (producto) con los elementos de otro conjunto, que durante
el texto se restringe a los números reales. En general, en lo sucesivo entendemos por estructura algebraica al conjunto no vacío sobre el
que se define una relación interna entre sus elementos y dos operaciones (interna y externa) que deben definirse para cada conjunto de estudio.
Iniciamos el desarrollo de la clasificación de las estructuras algebraicas de los conjuntos con un conjunto de elementos que resultan
de situaciones donde deseamos relacionar dos propiedades de cada ente u objeto de estudio, las cuales pueden establecerse y ordenarse en
filas y columnas, dando origen a los elementos del primer conjunto que vamos a estudiar en este texto y que reciben el nombre de matrices.Como se mencionó en el prefacio, el enfoque que damos al texto no es el que corresponde de manera histórica al desarrollo del álgebra, ya que los conjuntos que fueron desarrollados al inicio del álgebra, hoy día cumplen más funciones diferentes a las originales. Por esta razón, queremos que se entienda la importancia del papel que en la actualidad desempeñan los conjuntos en las aplicaciones. Antes de iniciar con el estudio del conjunto de las matrices, es conveniente que primero revisemos un bosquejo histórico sobre su aparición.
Conceptos Previos
Durante los cursos clásicos y básicos de matemáticas, en general se trabaja con el conjunto de los números reales o alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, en el estudio del cálculo diferencial o integral se utilizan las funciones que, en esencia, se basan en los números reales; en algunas otras áreas se estudian, en forma general, las relaciones entre conjuntos, lo que implica el uso de diversos tipos de conjuntos. Trabajar con diferentes tipos de conjuntos trae consigo interrogantes sobre la validez o invalidez de operaciones entre los elementos de los conjuntos.Es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propieda- des matemáticas que poseen dichas operaciones. En otras palabras, una estructura algebraica es un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definidas en este. En este momento resulta bastante complicado entender el significado y el alcance real de lo que es una estructura algebraica, por lo que iniciamos con el conjunto más conocido: los números reales, ^, que está formado por números entre los que se definen dos operaciones, suma y producto, además de cumplir las propiedades siguientes con respecto a la suma y el producto.
