Ejercicios y problemas de calculo
Ruben Flores Espinoza
Marco Antonio Valencia Arvizu
Martín Gildardo García Alvarado
Rodrigo González González
Conocimientos previos
Para comprender y aplicar el Cálculo Diferencial e Integral son necesarios algunos conocimientos previos.
Entre ellos se requiere conocer el concepto, la notación y las operaciones con conjuntos; dominar las operaciones algebraicas, resolver ecuaciones de primero y segundo grado, resolver sistemas de ecuaciones, conocer las progresiones aritméticas y geométricas y resolver desigualdades.
Por lo que se refiere a la geometría, conocer las propiedades de los triángulos,
los cuadriláteros, los polígonos regulares y los círculos; calcular áreas y volúmenes
de las figuras y cuerpos más conocidos. En cuanto a la trigonométrica, conocer las
relaciones trigonométricas, el círculo trigonométrico y las principales identidades
trigonométricas con senos y cosenos.
En lo que corresponde a la geometría analítica, es importante conocer la manera de trazar la gráfica de ecuaciones algebraicas asociadas con rectas y secciones cónicas, es decir, saber interpretar geográficamente, en el plano cartesiano, las ecuaciones de primero y segundo grado.
Y recíprocamente, dadas algunas propiedades geométricas, construir las ecuaciones que representa rectas y secciones cónicas, o sea, círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Los ejercicios y problemas planteados a continuación buscan ayudar a recordar algunos de estos temas, sin pretender ser exhaustivos.
1.1 Conjuntos
Ejercicios
1. Sean los conjuntos
A = {a, b, c, d, e, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ,
B = {a, b, c, 1, 2, 5, 6, α, β, π} ,
C = {a, b, e, 1, 2, 3, 5, 6, α, β, δ, ρ} .
2. Demuestre las siguientes relaciones entre conjuntos:
(a) (A ∪ B) ∩ (B c ∩ A) ⊂ A (b) (Ac ∩ Bc ) ∩ (A ∩ C) = ∅ (c) (A ∩ Bc ) ∪ (Ac ∩ B) ⊂ (Ac ∩ Bc )c
Problema
3. Considere lo siguiente:
U = conjunto de todas las personas,
A = conjunto de personas nacidas en México,
B = conjunto de las personas menores de 30 a˜nos,
C = conjunto de hijos de padres mexicanos.
(a) Si para ser candidato a la presidencia de México se requiere tener más de 30 a˜nos y haber nacido en México de padres mexicanos, exprese el conjunto de los candidatos posibles en términos de los conjuntos U, A, B, C y las operaciones conjuntivas.
(b) Escriba en términos de los conjuntos U, A, B, C y de las operaciones conjuntivas el conjunto X de las personas que no pueden ser presidente de México.
5. Encuentre la suma de todas las soluciones de la ecuación | 2x + 4√ 2 | + | x − √ 2 |= 9√ 2.
6. Encuentre los valores de x para los cuales la expresión x 2 − 9 x − 4 es positiva.
7. Resuelva la desigualdad x 2 − x x 2 + 13x 6 0.
Marco Antonio Valencia Arvizu
Martín Gildardo García Alvarado
Rodrigo González González
Conocimientos previos
Para comprender y aplicar el Cálculo Diferencial e Integral son necesarios algunos conocimientos previos.
Entre ellos se requiere conocer el concepto, la notación y las operaciones con conjuntos; dominar las operaciones algebraicas, resolver ecuaciones de primero y segundo grado, resolver sistemas de ecuaciones, conocer las progresiones aritméticas y geométricas y resolver desigualdades.
En lo que corresponde a la geometría analítica, es importante conocer la manera de trazar la gráfica de ecuaciones algebraicas asociadas con rectas y secciones cónicas, es decir, saber interpretar geográficamente, en el plano cartesiano, las ecuaciones de primero y segundo grado.
Y recíprocamente, dadas algunas propiedades geométricas, construir las ecuaciones que representa rectas y secciones cónicas, o sea, círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Los ejercicios y problemas planteados a continuación buscan ayudar a recordar algunos de estos temas, sin pretender ser exhaustivos.
Exhiba los elementos de los conjuntos siguientes:
(a) A ∩ B (b) (A ∪ B) ∩ C (c) (A ∩ C) ∪ (A ∩ B) (d) (A ∩ Bc ) ∪ C.2. Demuestre las siguientes relaciones entre conjuntos:
(a) (A ∪ B) ∩ (B c ∩ A) ⊂ A (b) (Ac ∩ Bc ) ∩ (A ∩ C) = ∅ (c) (A ∩ Bc ) ∪ (Ac ∩ B) ⊂ (Ac ∩ Bc )c
Problema
3. Considere lo siguiente:
U = conjunto de todas las personas,
A = conjunto de personas nacidas en México,
C = conjunto de hijos de padres mexicanos.
(a) Si para ser candidato a la presidencia de México se requiere tener más de 30 a˜nos y haber nacido en México de padres mexicanos, exprese el conjunto de los candidatos posibles en términos de los conjuntos U, A, B, C y las operaciones conjuntivas.
(b) Escriba en términos de los conjuntos U, A, B, C y de las operaciones conjuntivas el conjunto X de las personas que no pueden ser presidente de México.
1.2 Álgebra ´ Ejercicios
4. Si las soluciones de la ecuación x 2 + bx + c = 0 son ln 2 y π, encuentre el valor de b.5. Encuentre la suma de todas las soluciones de la ecuación | 2x + 4√ 2 | + | x − √ 2 |= 9√ 2.
6. Encuentre los valores de x para los cuales la expresión x 2 − 9 x − 4 es positiva.
7. Resuelva la desigualdad x 2 − x x 2 + 13x 6 0.
