analisis matematico
Se pretende que este libro sirva como texto para el curso de análisis que reciben normalmente los estudiantes avanzados de licenciatura o para los estu-diantes graduados de primer año que estudian Matemáticas.
La presente edición con algo más de material, un poco de menos omi-siones, y un reordenamiento considerable, cubre en esencia los mismos temas que la segunda. Espero que dichos cambios hagan más accesible y atractivo el material a los estudiantes que reciben tal curso. La experiencia me ha convencido que, pedagógicamente, es erróneo (aunque desde el punto de vista lógico es correcto) comenzar con la construc-ción de los números reales a partir de los racionales.
Simplemente en un principio, la mayoría de los estudiantes no aprecian la necesidad de hacerlo. Por esto se presenta el sistema de los números como un campo que posee la propiedad de la mínima cota superior, y se efectúan rápidamente algunas aplicaciones interesantes de esta propiedad. Sin embargo no se omite la construcción de Dedekind.
Ahora se encuentra en el apéndice del capítulo 1, en donde puede estudiarse y deleitarse siempre y cuando se tenga la madurez adecuada. Se volvió a escribir casi todo el material sobre funciones de varias va-riables, completándolo con muchos detalles y más motivación con ejemplos. La demostración del teorema de la función inversa, que es el tema clave del capítulo 9, se simplifica con el teorema de punto fijo referente a mapeos de
X PREFACIO
contracción.
Las formas diferenciales se estudian con más detalle. Se inclu-yen además varias aplicaciones del teorema de Stokes. En lo que se refiere a cambios, el capítulo sobre la integral de Riemann-Stieltjes se ha equilibrado un poco; también se adicionó al capítulo 8 una pequeña sección sobre la función gama para que el lector la desarrolle, y hay un número bastante grande de ejercicios nuevos, la mayoría de ellos con sugerencias bastante detalladas.
También incluí varias referencias sobre artículos publicados en el American Mathematical Monthly y el Mathematics Magazine, esperando que a los estudiantes se les desarrolle el hábito de consultar las publicaciones científicas. R. B. Burckel muy amablemente me proporcionó la mayoría de las referencias. Numerosas personas, tanto estudiantes como maestros, durante mu-chos años me han enviado correcciones, críticas y comentarios acerca de las ediciones anteriores de este libro. Las aprecio y aprovecho la oportunidad para expresarles mis más sinceros agradecimientos a todos los que me han escrito.
WALTER RUDIN
SOLUCIONARIO PRINCIPIOS DE ANÁLISISMATEMÁTICO
Chapter 1. The Real and Complex Number Systems.
1.1.
INTRODUCTION.
(pp.1-3)
Relevant exercise in Rudin:
1:R2. There is no rational square root of 12. (d: 1)
Exercise not in Rudin:
1.1:1. Motivating Rudin’s algorithm for approximating 0-2 . (d: 1)
On p.2, Rudin pulls out of a hat a formula which, given a rational number p, produces another
rational number q such that q
2
is closer to 2 than p
2
is. This exercise points to a way one could
come up with that formula. It is not an exercise in the usual sense of testing one’s grasp of the material in
the section, but is given, rather, as an aid to students puzzled as to where Rudin could have gotten that
formula.
We will assume here familiar computational facts about the real numbers, including the existence
of a real number 0-2, though Rudin does not formally introduce the real numbers till several sections
later.
(a) By rationalizing denominators, get a non-fractional formula for 1 ⁄ (0-2 + 1). Deduce that if
x = 0-2 + 1, then x = (1 ⁄ x) + 2.
(b) Suppose y > 1 is some approximation to x = 0-2 + 1.
Give a brief reason why one should expect
(1 ⁄ y) + 2 to be a closer approximation to x than y is. (I don’t ask for a proof, because we are only
seeking to motivate Rudin’s computation, for which he gives an exact proof.)
(c) Now let p > 0 be an approximation to 0-2 (rather than to 0-2 + 1). Obtain from the result of (b) an
expression f( p) that should give a closer approximation to 0-2 than p is. (Note:
To make the input p
of your formula an approximation of 0-2, substitute y = p+1 in the expression discussed in (b); to make
the output an approximation of 0-2, subtract 1.)
(d) If p < 0-2 , will the value f( p) found in part (c) be greater or less than 0-2 ? You will find the
result different from what Rudin wants on p.2.
There are various ways to correct this. One would be to
use f( f( p)), but this would give a somewhat more complicated expression. A simpler way is to use
2 ⁄ f( p). Show that this gives precisely (2p+2) ⁄ ( p+2), Rudin’s formula (3).
(e) Why do you think Rudin begins formula (3) by expressing q as p – ( p
2
–2) ⁄ ( p+2) ?
